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Qué está pasando con los besos y cómo esto preocupa a los matemáticos. Todo comenzó con el famoso explorador o pirata del siglo XVI (dependiendo de su punto de vista) Sir Walter Raleigh. Puede que te sorprenda leer el titular, porque hasta donde sabemos, no es ni matemático ni besador; pero si está bastante involucrado con los besos.
Los besos y las balas de cañón
Sir Walter Raleigh todo lo que tiene son proyectiles, y la pregunta es cuál es la forma más eficiente de apilar los proyectiles para que ocupen el menor espacio posible en el barco. Es una cuestión de matemáticas, y en matemáticas estas esferas son esferas, y el “beso” es el punto donde una esfera toca a otra.
El problema de Raleigh crearía un rompecabezas matemático que ocuparía la mente de personas razonables durante cientos de años. Cuando viajó a América en 1585, preguntó quién era su asesor científico, el famoso matemático Thomas Harriot, y le dio la solución.
La mejor manera de almacenar conchas marinas es colocarlas en forma de pirámide. En un manuscrito de 1591, Harriot creó una tabla para él que mostraba cómo, dada la cantidad de balas de cañón, se podía calcular cuántas balas de cañón debían colocarse en la base de una pirámide con base triangular, cuadrada o rectangular.
Pero Harriot había pensado en ello, por lo que consideró las implicaciones para la entonces popular teoría atómica de la materia. Al comentar sobre la teoría en su correspondencia con su amigo, el famoso astrónomo Johannes Kepler, mencionó el problema de la acreción. Kepler especuló que la mejor manera de minimizar el espacio dejado por los espacios entre las esferas sería que el centro de cada capa de esferas estuviera por encima de donde encajaría la siguiente capa de esferas.
La fruta en el mercado a menudo hace esto
Este método reduce el espacio utilizando los espacios creados entre las esferas en la capa anterior. Esto parece intuitivamente obvio, pero es extremadamente difícil de probar matemáticamente.
A pesar de los intentos de muchos, incluido el príncipe de las matemáticas Johann Carl Friedrich Gauss, no fue hasta casi cuatro siglos después, en 1998, que Thomas Hales de la Universidad de Michigan en Computer Work and Power simplemente lo demostró. Incluso esta prueba no convenció a todos los matemáticos; incluso hoy algunas personas piensan que no vale la pena las suposiciones de Kepler.
Estos no son los únicos dolores de cabeza causados por objetos esféricos. De hecho, una gran clase de problemas matemáticos se conocen como problemas de empaquetamiento de esferas. Resolver estos problemas es útil para todo, desde estudiar estructuras cristalinas hasta optimizar señales enviadas por teléfonos celulares, sondas espaciales e Internet.
Los besos desconocidos
Al igual que las balas de cañón de Raleigh, la logística, las materias primas y muchas otras industrias dependen en gran medida de las técnicas de optimización proporcionadas por las matemáticas. Un ejemplo de ello es que los matemáticos han hallado que las bolas colocadas al azar tienden a ocupar cualquier espacio con una densidad en torno a un 64 %. Pero si los coloca cuidadosamente en capas de cierta manera, puede alcanzar el 74 %. Este 10 % supone no solo un ahorro en los costes de transporte, sino también un daño al medio ambiente.
Pero las aplicaciones prácticas como esta requieren pruebas matemáticas, y las esferas empaquetadas ya introducen incógnitas particularmente difíciles, al igual que las conjeturas de Kepler. Una proviene de una conversación entre Isaac Newton, uno de los más grandes científicos de todos los tiempos, y David Gregory, el primer profesor universitario que enseñó las teorías revolucionarias de Newton.
Se trata de la cantidad de besos, pero, ¿que son esos? Imagina que tienes varios círculos de cartón del mismo tamaño y quieres pegarlos al cartón alrededor de uno de ellos. El número de besos es igual al número máximo de círculos que puedes colocar besando (o tocando) el círculo central. Es así de simple, pues resulta que los matemáticos han demostrado que se pueden colocar hasta 6 círculos alrededor del círculo original, por lo que el número de besos es 6.
Cada estrella es un beso
Ahora imagina usar una pelota de goma del mismo tamaño en lugar de un círculo de cartón. La misma pregunta es: ¿cuántas bolas puedes colocar alrededor del centro? Al agregar una tercera dimensión, el volumen, el problema de especificar el número de besos se complica aún más. Se necesitaron dos siglos y medio para complicarlo.
Newton y Gregory. Todo comenzó con la famosa discusión entre Newton y Gregory en el campus de la Universidad de Cambridge en 1694. Newton tenía 51 años y David Gregory lo estuvo visitando por varios días, durante los cuales hablaron sin parar sobre ciencia. La conversación fue bastante unilateral, y Gregory registró todo lo que dijo el maestro.
Una de las preguntas que más discutieron y que fueron registradas en la nota de Gregory es cuántos planetas orbitan en torno al Sol. A partir de ahí va la discusión, la pregunta es cuántas esferas de igual tamaño se pueden ordenar en capas concéntricas de manera que la central Gregory dice, sin mucho preámbulo, que no hay más de 13 esferas en la primera capa alrededor de la esfera central.
Newton y sus doce besos
Gregory y Newton nunca estuvieron de acuerdo, ni sabían cuál era la respuesta correcta. Hoy en día, el hecho de que una potencia pueda tocar el número máximo de bolas, a menudo denominado número de Newton, revela quién tenía razón.
El debate terminó recién en 1953, cuando el matemático alemán Kurt Schütte y el holandés B.L. van der Weerden demostró que la cantidad de besos en tres dimensiones es 12 y solo 12. Esta pregunta es importante porque un conjunto de esferas llenas tendrá una cantidad promedio de besos, lo que ayuda a describir matemáticamente la situación. Pero todavía hay preguntas sin resolver y miles de besos
Excepto por la dimensión 1 (intervalo), la dimensión 2 (círculo) y la dimensión 3 (esfera), el problema de los besos está casi sin resolver. El número de besos sólo se conoce en otros dos casos. En 2016, la matemática ucraniana Maryna Vyazovska determinó que el número de besos era 240 en 8 dimensiones y 196.560 en 24 dimensiones.
Para otras dimensiones, los matemáticos han reducido lentamente las posibilidades a un rango estrecho. Las preguntas están abiertas para tamaños mayores de 24 o teoría general. Existen varios obstáculos para una solución completa, incluidas las limitaciones computacionales; sin embargo, se espera un progreso que conlleve a la solución del problema en los próximos años.
Esto es para llamar y entretenerse
Pero, ¿de qué sirve empaquetar una esfera 8D? El topólogo algebraico Jaume Aguadé respondió a esta pregunta en un artículo de 1991 titulado “Cien años de E8”. Se utiliza para hacer llamadas telefónicas, escuchar a Mozart en CD, enviar un fax, ver televisión por satélite, conectarse a una red informática mediante un módem. Se emplea en todos estos procesos donde la información digital se transfiere de manera eficiente.
La teoría de la información nos dice que los códigos de señalización son más fiables en dimensiones superiores, y la red E8, con su sorprendente simetría y la existencia de los decodificadores correspondientes, es una herramienta clave en la teoría de la codificación y transmisión de señales.