Las matemáticas y la democracia

Muchas sociedades modernas están sostenidas por la democracia y por su correcto funcionamiento, el cual depende en gran parte de sistemas de votación justos y eficientes. Por medio de las matemáticas se pueden diseñar y comprender dichos sistemas. Desde los trabajos del marqués de Condorcet, por allá por el siglo XVIII, que dieron lugar a la teoría de elección social.

El papel de las matemáticas en el fortalecimiento de la democracia

Los sistemas de votación y la teoría de elección social se encuentran dentro de la rama de economía matemática que se enfoca en comprender los procesos de agregación de preferencias e información.

Por ejemplo, se encargan de estudiar cómo los diferentes sistemas de votación pasan de las preferencias de los electores a los resultados de las elecciones.

Uno de los asuntos más relevantes a tener en cuenta en la teoría de elección social es la propiedad de transitividad, esta tiene que ver con el cómo se relacionan entre sí y se organizan las preferencias de una persona o de un colectivo.

Resultados irracionales

Por ejemplo, vamos a imaginar que estamos eligiendo entre 3 clases de helados: chocolate, vainilla y fresa (A, B y C). Aquí la propiedad de transitividad ordena que, si preferimos el helado de chocolate antes que el helado de vainilla, y preferimos al helado de vainilla primero que el helado de fresa, entonces también deberíamos preferir el helado de chocolate antes que el helado de fresa. Estos es lo que se espera que ocurra dentro de un conjunto de preferencias racionales.

Si ocurren violaciones a la propiedad de transitividad, eso conduciría a resultados “irracionales”, como el del “Dutch book”.

Ahora, que pasaría si imaginamos que tenemos otras preferencias, preferencias intransitivas, sobre los tipos de helados: A>B, B>C, C>A. Si, partimos de tener helado de chocolate, como preferimos el helado de fresa, estamos en disposición a intercambiar nuestro helado, junto con una pequeña suma de dinero δ (por decir, 1 euro) por el helado de fresa, es decir, C>A+δ. Seguidamente, venderíamos C más una pequeña suma de dinero δ’ para obtener B, adicionalmente una pequeña suma de dinero δ’’ con lo que obtendremos A de nuevo, ya que preferimos A sobre B. Al término del proceso, obtendríamos de nuevo a A, pero habríamos perdido las sumas de dinero δ, δ’ y δ’’ en el proceso.

Desde Condorcet en el XVIII hasta la democracia actual

Las matemáticas permiten el diseño de sistemas de votación justos y muy eficientes, desde los trabajos llevados a cabo por el marqués de Condorcet en el siglo XVIII, los cuales dieron origen a la “teoría de elección social”, que trata sobre los procesos de agregación de preferencias de los votantes.

No obstante, Condorcet logró demostrar que las preferencias a nivel social pueden ser intransitivas, de manera general. Veamos un ejemplo, vamos a imaginar una elección con tres candidatos, A,B y C; y tenemos 3 votantes con preferencias transitivas. El primer elector prefiere a A antes que B y a B antes que C. El segundo elector, prefiere a B sobre C y a C sobre A. Mientras que el tercer elector prefiere a C sobre A y a A sobre B.

Siendo así, si votáramos por mayoría a los candidatos por pares, A ganaría a B (2 votos contra 1). Este ciclo de preferencias: A>B, B>C, C>A es intransitivo, a pesar de que ninguno de los electores tenía preferencias intransitivas.

Como producto de esta intransitividad, se podría diseñar un sistema a 2 vueltas que dé como ganador al candidato que deseemos. Por ejemplo, si deseamos que gane el candidato C, bastaría con establecer una primera ronda entre A y B y que el ganador (el candidato A) se enfrente al candidato C. De igual forma, si queremos que resulte ganador el candidato A, deberíamos establecer una primera vuelta entre B y C, y el ganador (B) se mediría con el candidato A.

El teorema de imposibilidad de Kenneth Arrow y la democracia

El teorema de imposibilidad de Arrow ahonda en esta premisa. El economista teórico Kenneth Arrow logró demostrar que, bajo ciertas condiciones razonable, es imposible que se diseñe un sistema de votación que siempre produzca resultados “coherentes”.

Lo que quiere decir que, no existe un sistema de votación que satisfaga al mismo tiempo todas las condiciones deseable dentro de un sistema democrático, como la no dictadura (no debe existir un votante cuya preferencia prevalezca en todo momento); la condición de Pareto, que reza: si todos los sujetos prefieren una opción sobre otra, el resultado colectivo también tiene que reflejar dicha preferencia unánime; y la independencia de opciones irrelevantes, que es el resultado entre 2 candidatos no debe depender de las preferencias de otros candidatos.

El teorema del jurado

A pesar de estas limitaciones, el teorema del jurado (otro resultado clásico de Condorcet) proporciona, “a priori”, un enfoque más optimista sobre los procesos de decisión. Vamos a suponer que nos enfrentamos a una decisión entre 2 alternativas y, a diferencia del caso pasado, hay una alternativa correcta.

Por ejemplo, un jurado en una corte que debe decidir sobre la inocencia o la culpabilidad de un acusado. Desde este teorema se dicta que, si cada elector tiene la misma probabilidad mayor al cincuenta por ciento de tomar la decisión correcta, entonces es más probable que coincida un grupo de electores independientes al tomar una decisión por mayoría, en comparación con una persona por sí sola. También, a medida que se incrementa el número de votantes, las probabilidad de tomar la decisión correcta se aproxima al cien por ciento.

Sin embargo, no es realista creer que todos los votantes poseen la misma probabilidad de acertar y es algo significativo para la aplicación del teorema. Depende de las probabilidades de cada uno de los votantes, la probabilidad del jurado de acertar se inclinará hacia el uno o no, tal como lo plantea la tesis del teorema.

Se deben revisar las estructuras y los sistemas de votación de la democracia

En los últimos años, y siguiendo un enfoque bayesiano, los expertos han estimado la probabilidad “a priori” de que la tesis anunciada por el teorema se cumpla. Lo que significa que, si elegimos una secuencia arbitraria de electores con distintas probabilidades de tomar la decisión correcta, ¿se cumplirá que la probabilidad de acertar del jurado se incline al cien por ciento mientras que aumentamos la cantidad de miembros?

La respuesta a esta interrogante es no. Más exactamente, si se toma una secuencia aleatoria de probabilidades siguiendo cualquier distribución que sea “simétrica”, la tesis anunciada por el teorema no será cumplida en “casi” todos los casos, lo que quiere decir que se cumplirá con probabilidad cero.

Entonces, estos resultados matemáticos nos recuerdan la importancia que tiene el reflexionar acerca de las estructuras y los sistemas de votación que empleamos en nuestras sociedades y en la democracia. Si logramos entender las fortalezas y las debilidades de estos sistemas, vamos a poder trabajar en optimizarlos, y de esa forma asegurar que nuestras democracias sean lo más epistémicamente eficientes posibles. Concluyó el doctor en Matemáticas Álvaro Romaniega, del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y en la actualidad investigador en finanzas estocásticas.

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